SUBESPACIOS VECTORIALES
Ejemplo
Considera el conjunto S = {(x, 0) / x Î R}, que, como ves, es un subconjunto de R2, y
las operaciones siguientes:
¬ + (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0)
+ a . (x, 0) = (a x, 0) , con a Î R
Como observars, la “suma” y la “multiplicación por un nmero” en S, son las
mismas que se establecían en R2. Pero, además:
1¼) La suma de elementos de S (caracterizados por tener su segunda componente
nula) da como resultado otro elemento de S. Se trata, pues, de una ley de composición interna
en S.
2¼) La multiplicación de un nmero real por un elemento de S da como resultado otro
elemento de S. Se trata de una ley de composición externa en S con operadores en R.
3¼) Es fcil demostrar, y te lo dejamos como ejercicio, que las operaciones anteriores
cumplen las propiedades requeridas para que (S, +, .) sea espacio vectorial sobre R .
+ Pues bien, por ser S un subconjunto de R2 y (S, +, .) un espacio vectorial, diremos
que (S, +, .) es un subespacio vectorial de (R2 , +, .).
Definición (de subespacio vectorial)
ì Dado un espacio vectorial (V, +, .), llamaremos subespacio vectorial de V a
cualquier subconjunto no vacío S de V tal que la terna (S, +, .) sea espacio vectorial.
Observación
Segn la definición anterior, si dado un subconjunto S de un espacio vectorial V quisiramos
averiguar si es o no subespacio vectorial de V, no nos quedara más remedio que comprobar si, a fin de
cuentas, (S, +, .) es o no espacio vectorial, con lo que poca ayuda encontraríamos en el hecho de saber que (V,
+, .) s lo es. ÀNo habrá, por tanto, una forma más sencilla de caracterizar los subespacios vectoriales?
Teorema (caracterización de un subespacio vectorial)
Sean (V, +, .) un espacio vectorial sobre R y S un subconjunto no vacío de V.
Entonces:
Este smbolo, de equivalencia,
se lee “si y sólo si”
a , bÎ S
a , bÎ R
üýþ
Þ a.a + b.bÎS (S, +, .) es subespacio
vectorial de (V, +, . ) Û
En efecto:
À La demostración del teorema en el sentido Þ ) es fácil:
Si suponemos que (S, +, .) es subespacio vectorial, es espacio vectorial, luego si los
vectores a, b pertenecen a S y los números a, b a R, entonces tanto a.a como b.b pertenecer
n a S y, por ello, tambin su suma.
Á En sentido recproco:
Veamos, primero, que si cualesquiera que sean a, b de S y a, b de R, se cumple que
a.a + b.b Î S, entonces la operación (+) cumple las propiedades exigidas:
ß Es interna en S, pues tomando a = b = 1 se tendrá, si a, b Î S, que 1.a + 1.b Î S,
es decir, a + b Î S .
ß Es asociativa [a + (b + c) = (a +b ) + c], por serlo en V (ÀPor qu lo es en V?).
ß El vector nulo, 0, pertenece a S; para demostrarlo, basta tomar a, b Î S; a = b = 0.
ß Todo a Î S tiene su opuesto, -a, en S; toma, para comprobarlo, a, b Î S; a = -1, b = 0.
ß Es conmutativa [a + b = b + a] , por serlo en V.
Por otra parte, la segunda ley, la (.), tambin cumple las condiciones requeridas:
ß Que se trata de una aplicación R ´ S ® S se deduce del hecho de que tomados
a, b Î S ; a , 0 Î R , se tendrá a.a + 0.b Î S, o sea, a.a Î S.
ß Las demás propiedades se cumplan en V, luego tambin en S.
Ejemplo
Para demostrar que, por ejemplo, S = { (x, y, z) Î R3 / x + 2y = z } es subespacio vectorial
de (R3 , +, . ), como S no es vacío, pues (0, 0, 0) Î S, bastar con tomar:
(x1 , y1 , z1) , (x2 , y2 , z2) Î S ; a, b Î R ,
y ver que a .(x1 , y1 , z1) + b.(x2 , y2 , z2) = (a x1 + b x2 , a y1 + b y2 , a z1 + b z2) Î S, ya que:
a z1 + b z2 = a (x1 + 2 y1) + b (x2 + 2 y2) = (a x1 + b x2) + 2 (a y1 + b y2).
Observación importante
La ecuación x + 2y = z, que determina cules son los vectores pertenecientes al subespacio S del
ejemplo anterior, se dice que es la ecuación implícita de S. Como veremos en el apartado de ejercicios, al
final del captulo, un subespacio vectorial puede quedar definido por más de una ecuación implícita.
más ejemplos
¬ Demuestra que si (S, +, .) y (T, +, .) son dos subespacios vectoriales de (V, +, .),
entonces (S Ç T, +, .) tambin lo es.
Demuestra que S = { (x, y, z) Î R3 / x + 2y = z + 1 } no es subespacio vectorial de
(R3 , +, .).
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