SISTEMA GENERADOR
Ejemplo
Considera en R3 los vectores a1 = (2, 1, -1), a2 = (0, 2, 3). Es inmediato que, por ejemplo,
2.a1 + 3.a2 = (4, 8, 7), o que -1.a1 + 2.a2 = (-2, 3, 7). Pues bien, tanto del vector (4, 8, 7)
como del (-2, 3, 7) diremos que son una combinación lineal de a1 y a2 .
Definición (de combinación lineal)
Dados p vectores a1 , a2 , … , ap de un espacio vectorial (V, +, .) sobre R, diremos que
otro vector a ÎV es combinación lineal de los anteriores si existen a1 , a 2 , … , a p Î R, que
llamaremos coeficientes de la combinación lineal, tales que:
a = a1
a1 + a2
a2 + … + ap
ap
+ Observa que, en particular, como cualesquiera que sean a 1 , a 2 , … , a p Î V:
0 = 0.a1 + 0.a2 + … + 0.ap
el vector nulo es combinación lineal de cualesquiera otros.
Ejemplo (de otra cosa)
Considera el conjunto S = { (x, y, x+y) / x, y Î R } que, como puedes comprobar si lo
deseas, es subespacio vectorial de (R3, +, .). Al suceder que:
(x, y, x+ y) = x.(1, 0, 1) + y.(0, 1, 1)
resulta que cualquier vector de S se puede escribir como combinación lineal de los vectores
(1, 0, 1) y (0, 1, 1), Àno? Pues bien:
Definición (sistema generador)
De una familia de vectores {a1, a2, … , ap} de un espacio vectorial (V, +, .) diremos que
es un sistema generador de un subespacio vectorial (S, +, .) si y slo si todo vector aÎS
puede expresarse como combinación lineal de a1, a2, … , ap. Es decir:
{ a1, a2, … , ap / a i Î V } es un sistema generador de (S, +, .) Û
” a Î S existen a1, a2, … , ap Î R tales que a = a1 a1 + a2 a2 + … + ap ap
Ejemplos
1¼) En el caso del subespacio de R3 que vimos antes, S = { (x, y, x+y) / x,y Î R }, se
tenía que (x, y, x + y) = x.(1, 0, 1) + y.(0, 1, 1), luego (1, 0, 1) y (0, 1, 1) forman un sistema
generador de S.
2¼) Obtn un sistema generador del subespacio vectorial de R4 :
S = { (x - 2y, y, x - y, 0) / x, y Î R }
Sugerencia: Escribe (x - 2y, y, x - y, 0) = (x, 0, x, 0) + (-2y, y, -y, 0)
Comentario
En lo anterior hemos partido de la existencia de un subespacio y hemos buscado algún sistema
generador de l. Ha sido algo as como buscar los padres de las criaturas. Pero, Àquí ocurrir si combinamos
de todas las maneras posibles unos vectores dados? ÀQuí formarón las criaturas que obtengamos?
Teorema (de la clausura lineal)
+ Dada una familia de vectores { a 1 , a 2 , … , a p } de un espacio vectorial (V,
+, .), el conjunto:
R [a
1
, a
2, … , a
p ] = { a1
a1 + a2
a2 + … + ap
ap / a1
, a2
, … , a
p Î R }
de todas las combinaciones lineales que se pueden formar con ellos
es un subespacio vectorial de (V, +, .).
En vez de escribirte la demostración completa, te la vamos a insinuar:
1¼) Lee el teorema de caracterización de los subespacios vectoriales.
2¼) Toma a, b Î R [a 1 , a 2 , … , a p ]. ÀQuí significa eso?
3¼) Siendo a, b Î R, calcula a.a + b.b, simplificando todo lo que puedas.
4¼) ÀHas llegado a la conclusin?, o sea, Àhas visto que a.a + b.b tambin es una
combinación lineal de a 1 , a 2 , … , ap? ÀS ? Pues, , , ya tienes demostrado el teorema.
Por cierto: al subespacio anterior le llamaremos clausura lineal de a 1 , a 2 , … , ap,
dicindose tambin que dicho subespacio ha sido engendrado por a 1 , a 2 , … , ap .
Otro comentario
Posiblemente hayas observado ya que un espacio vectorial puede tener más de un sistema generador.
Pero no slo es eso, sino que incluso puede suceder que haya sistemas generadores de un mismo
espacio vectorial que estn formados por distinto nmero de vectores. As, por ejemplo, antes vimos que los
vectores (1,0,1) y (0,1,1) constituan un sistema generador del subespacio vectorial de R3 :
S = { ( x, y, x + y ) / x, y Î R }
Pero, dado que:
(x, y, x + y) = x.(1, 0, 0) + y.(0, 1, 0) + (x + y).(0, 0, 1)
los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) tambin forman un sistema generador de S. Y se trata de slo un
ejemplo entre otros muchos.
Entonces, Àhabr entre todos los sistemas generadores de un mismo subespacio vectorial algunos
especialmente recomendables? ÀHabr, en concreto, sistemas generadores que estn formados por el
mnimo nmero posible de vectores? Sin que olvidemos que nuestro objetivo ltimo no son los espacios
vectoriales, de los que quizs en el futuro tengas que estudiar bastante más de lo que hacemos aqu, te
adelantamos que la respuesta es afirmativa. Efectivamente, existen sistemas generadores formados por el
menor nmero posible de vectores. Son los que llamaremos bases. Pero antes de entrar en ello, recordemos
algo que, en parte, has estudiado ya en cursos anteriores.
Latest Posts
