RANGO DE UNA MATRIZ
Poquito a poco nos vamos acercando a nuestro objetivo, o sea, a los sistemas de
ecuaciones. Pieza bsica para su estudio es el concepto de rango de una matriz, que, en gran
medida, te resultar familiar. Empezaremos dando su definicin y, posteriormente, veremos
un par de procedimientos para calcularlo.Definicin (de rango de una matriz)
Dada la matriz: + A =
a1 1 a1 2 a1 3 ¼ a1 n
a21 a 2 2 a2 3 ¼ a2 n …
…
…
… …
am1 am 2 am 3 ¼ am n
æççççè
ö÷÷÷÷ø
cada una de sus m filas a 1 , a 2 , ….. , a m puede considerarse, como sabes, como un vector del
espacio vectorial (Rn, +, .).
Ô Pues bien, llamaremos rango de A al rango de la familia F = { a 1 , a 2 , …. , a m } o, si
prefieres, al mximo nmero de filas de A que, como vectores de Rn , son linealmente
independientes.
O sea, que el concepto de rango de una matriz no difiere esencialmente en nada del de rango de
una familia de vectores. Los resultados que vimos cuando estudibamos tal asunto, en la pgina 27 -que
debes releer-, son los que traducimos a continuacin.
Consecuencias (transformaciones que no modifican el rango de una matriz)
El rango de una matriz A no se modifica si:
¬ Se altera el orden de las filas de A.
Se prescinde, en A, de una fila que sea combinacin lineal
de otras (en particular, si se elimina una fila de ceros).
 Se multiplica una fila de A por un nmero distinto de cero.
à Se suma a una fila de A una combinacin lineal de otras.
Ejemplo
Sea la matriz A =
1 2 1 3
2 1 0 3
3 3 1 6
æççè
ö÷÷ø
. Si restamos a la tercera fila la suma de la primera y
la segunda, quedndonos: A* =
1 2 1 3
2 1 0 3
0 0 0 0
æççè
ö÷÷ø
, las matrices A y A* tendrn igual rango.
Como en A* la ltima fila tiene todos sus elementos nulos, se podr prescindir de ella sin que
se modifique el rango, luego:
rango A = rango
1 2 1 3
2 1 0 3
æçè
ö÷ø
= 2 (ya que las dos filas no son proporcionales)
Naturalmente, habr que sistematizar estas transformaciones, para asegurarnos de que siempre,
con independencia de la vista de cada cual, podremos calcular el rango. Ya llegaremos a ello.
Ejemplo (de otra cosa)
Si observas la matriz A =
2 5 4 6 7
4 2 1 8 9
0 8 4 1 2
5 3 7 1 7
æçççè
ö÷÷÷ø
, vers que en ella se ha sealado la
interseccin de las filas segunda y tercera con las columnas segunda y cuarta. Pues bien, el
determinante 2 8
8 1
es un ejemplo de lo que llamaremos menor de la matriz A. Menor de
orden dos, en este caso.
Definicin (de menor de orden r en una matriz)
Si en una matriz A = (a i j), de orden m ´ n sobre R, se eligen las r filas i 1 , i 2 , … , i r (en
el orden natural) y las r columnas j 1 , j 2 , … , j r (en igual orden), del determinante:
a i
1
j
1
a i
1
j
2
a i
1
j
3
¼ a i
1
j r
a i
2
j
1
a i
2
j
2
a i
2
j
3
¼ a i
2
j r
¼ ¼ ¼ … ¼
airj
1
airj
2
airj
3
¼airjr
diremos que es el menor de orden r correspondiente a tales filas y columnas.
(Pregunta capciosa: ÀCuntos menores de orden r tiene A?).
Teorema
Las filas de una matriz A = (a i j) con las que se pueda formar un menor no nulo son
linealmente independientes.
En efecto: Supongamos, por ejemplo, que el menor formado por los elementos
comunes a las r primeras filas y r primeras columnas de A, es distinto de cero. O sea:
a
11
a
12
a
13 ¼ a
1r
a
21
a
22
a
23 ¼ a
2r
¼ ¼ ¼ … ¼
a
r1
a
r 2
a
r 3 ¼ ar r
¹ 0
Entonces, los r vectores de Rn:
a
1 = ( a
11
, a
12
,¼, a
1r
, a
1, r+1
, ¼, a
1n)
a
2 = (a
21
, a
22
, ¼, a
2r
, a
2, r+1
, ¼, a
2n)
¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼
ar = (a
r1
, a
r 2
,¼, a r r, a
r, r +1
,¼, a r n)
ìïïíïïî
son linealmente independientes, porque en caso contrario se podra escribir:
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