RANGO DE UNA FAMILIA DE VECTORES
Recapitulemos un poco. En las paginas anteriores hemos definido los conceptos de
espacio y subes pació vectorial, que son esencialmente la misma cosa; estudiando vectores,
hemos establecido las nociones de dependencia e independencia lineal y de sistema
generador; finalmente, hemos definido la dimensión de un subes pació vectorial como el
numero de vectores de un sistema generador libre (base). Pero, Aquí ocurrirá cuando una
Familia de vectores engendre un subes pació y, por no ser libre, no sea base de él? La
dimensión del subes pació ya no tiene por qué coincidir con el numero de elementos de dicha
familia. ¿Con qué coincidirá?
A responder esta cuestión dedicaremos el presente apartado del tema. Empecemos
con un ejemplo.
Ejemplo
Supongamos que dada una familia F = { a 1 , a 2 , a 3 } de vectores de un espacio vectorial
(V, +, .), el subes pació S = R [a 1 , a 2 , a 3 ] por ella engendrado fuera de dimensión dos.
Podrá ser tres el máximo numero de vectores linealmente independientes en F ?
La respuesta, desde luego, es negativa, porque si fuera afirmativa, F sería un sistema
generador libre, y, por tanto, base de S, cuya dimensión no podría ser 2. En consecuencia,
al ser F ligada, habrá al menos un vector, por ejemplo a3 , combinación lineal de los
otros: a 3 = a1 a 1 + a2 a 2 , a iÎ R. Pero entonces F ’= { a 1 , a 2 }, que lambín será sistema
generador de S, habrá de ser libre, porque de ser ligado sería, por ejemplo, a 2 = l a1 , l Î R, y {
a1 } engendraría todo el subes pació S, que sería de dimensión 1, contra lo supuesto.
í En cuanto a que T está contenido a su vez en S, supongamos que
a = l1 a1 + l2 a2 + … + lr ar + lr+1 ar+1 + … + lp ap Î T
Como cada uno de los vectores a r+1 , a r+2 , a r+3 , …. , a p es combinación lineal de a
1 , a 2 , .. , ar, se podría escribir:
a = l1a1 + l2a2 + … + lrar + lr+1(g1a1 + g2a2 + … + grar) + … + lp(m1a1 +m2a2+ … + mrar)
y, operando: a = d
è Finalmente, al cumplirse la cadena de igualdades:
rang (F) = r = dimensión S = dimensión T,
se concluye lo que queríamos.
Veamos por ultimo tres consecuencias de este teorema, que nos serán de gran utilidad cuando, en
el próximo capitulo, aprendamos a calcular lo que llamaremos rango de una matriz.
Corolario (uno)
+ El rango de una familia de vectores no se modifica si se prescinde de un vector que
sea combinación lineal de los demos.
En efecto: Acabamos de ver que cuando en una familia de vectores se prescinde de un
vector que sea combinación lineal de otros, los subespacios engendrados por una y otra
familia coinciden, luego tendrán igual dimensión y, en consecuencia, las familias de vectores
que los engendran, igual rango.
Observa que, en particular, siendo el vector nulo combinación lineal de cualesquiera otros, no se
modificara el rango de una familia de vectores si, formando parte de dicha familia el vector nulo, se prescinde
de él.
Corolario (otro)
+ El rango de una familia de vectores no se modifica si a uno de los vectores que la
forman se le multiplica por un numero distinto de cero.
En efecto: Siendo, por ejemplo, a, b, c tres vectores de un cierto espacio vectorial (V,
+, .), y a un numero distinto de cero, es fácil comprobar, mediante la doble inclusión, que R
[a, b, c] = R [a a, b, c] , luego…
Corolario (no hay dos sin tres)
+ El rango de una familia de vectores no se modifica si a uno de los vectores que la
forman se le suma una combinación lineal de los demos.
En efecto: Siendo, por ejemplo, F = { a 1 , a 2 , a 3 }, F ’= { a 1 + a
probar que los subespacios engendrados por F y F ’ coinciden. Pero a estas alturas del
tema, ello no debe resultarte muy difícil.
