OPERACIONES CON MATRICES
Definición (de suma de matrices)
+ Dadas dos matrices A = (a i j), B = (b i j) , que necesariamente han de ser del
mismo orden m ´ n , se define la matriz suma C = A + B como la matriz de orden m ´ n
dada por C = (c i j) , con c i j = a i j + b i j .
(O sea, que para sumar dos matrices, basta con sumar cada elemento de la primera matriz con el
que ocupa el mismo lugar en la segunda)
Definición (de producto de un número real por una matriz)
+ Dada una matriz de orden m ´ n , A = (a i j) , y un número a Î R, se define el
producto a. A como la matriz de orden m ´ n dada por a. A = (a. a i j).
(O sea, que para multiplicar un número por una matriz, basta con multiplicar cada elemento de la
matriz por dicho número).
Ejemplo
Comprueba que:
1 2 3 2
3 1 4 2
2 0 7 1
æççè
ö÷÷ø
+ 2.
2 3 0 1
3 1 1 3
1 4 0 4
æççè
ö÷÷ø
=
5 8 3 4
9 3 6 8
4 8 7 9
æççè
ö÷÷ø
Consecuencia
Te ser fcil comprobar que el conjunto M(m ´ n) de todas las matrices de orden m ´
n es, con las operaciones anteriores, un espacio vectorial sobre R. Y si lo tuyo es vicio,
puedes buscar una base de dicho espacio. ¿Cual es su dimensión?
Definición (de producto de matrices)
+ Dadas una matriz A, de orden m ´ n y otra matriz B, de orden n ´ p (observa que el
número de columnas de A coincide con el de filas de B), se define la matriz producto C = A . B como
la matriz de orden m ´ p cuyo elemento c i j viene dado por:
c i j = ai 1b1 j + ai2 b 2 j + ai 3b3 j+ ¼+ ai n bn j = ai k bk j
k=1
nå
Traduzcamos: Para obtener el elemento c i j de la matriz A . B basta con que multipliques uno
a uno los elementos de la fila i de A por los de la columna j de B y sumes todos esos productos como se
indica en el siguiente esquema:
· · · ·
æçè
ö÷ø
.
····
æççè
ö÷÷ø
= *
æçè
ö÷ø
Pregunta
Se puede demostrar, a partir de la definición anterior, que la multiplicación de matrices es asociativa;
pero, en cuanto a si es conmutativa, Àt qu crees?
Ejemplo
Comprueba que: 1 2 3 2
3 1 4 2
æè
öø
.
2 3 0
-3 0 1
-1 2 2
5 1 1
æçççè
ö÷÷÷ø
= 3 11 10
9 19 11
æè
öø
Algunos comentarios
À Las operaciones anteriores no se sacan de la manga, y dan mucho juego en
aplicaciones no estrictamente matemticas. Lo que ocurre es que aqu se trata exclusivamente
de dar noticia de su existencia, sin que, al no sernos de mucha utilidad para nuestro
cometido, nos podamos detener con detalle en ellas y en su justificación.
Á No obstante lo anterior, parece necesario decir que en el conjunto M(n) de las
matrices cuadradas de orden n existe una matriz, la:
I n =
1 0 ¼ 0 ¼ 0
0 1 ¼ 0 ¼ 0 …
…
… …
… …
0 0 ¼ 1 ¼ 0 …
…
… …
… …
0 0 ¼ 0 ¼ 1
æçççççè
ö÷÷÷÷÷ø a
la que se llama matriz unidad (
o
identidad) de orden n, tal que, cualquiera que sea la
matriz cuadrada A de orden n:
A . I n = I n . A = A
 As mismo, dada una matriz A, cuadrada de orden n, se puede demostrar que si se
cumple determinada condición (que veremos en el captulo siguiente), existe otra matriz A-1,
tal que
A . A -1 = A-1 . A = I n
1 De A-1, cuando existe, se dice que es la matriz inversa de A.
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