EL CONCEPTO DE ESPACIO VECTORIAL

EL CONCEPTO DE ESPACIO VECTORIAL
Ejemplo ya conocido
Consideremos el conjunto R2 = { x = (x1 , x2) / x1 , x2 Î R } y definamos las dos operaciones
siguientes:
¬ ó (x1 , x 2) + (y1 , y2) = (x1 + y1 , x 2 + y2), ” (x1 , x 2), (y1 , y2) Î R2
ó a . (x 1 , x 2) = (a x1 , a x2), ” a Î R , (x 1 , x 2) Î R2
Tenemos así que la operación (+) es una ley de composición interna en R2, a la que
llamaremos suma, y la operacin (.), a la que llamaremos multiplicación por un número o
por un escalar, una ley de composición externa en R2 con operadores en R. Dichas
operaciones, como es fcil de comprobar, cumplen las siguientes propiedades:
La suma:
1.1) x + y = y + x , ” x , y Î R2
1.2) x + (y + z) = (x + y) + z , ” x , y , z Î R2
1.3) x + 0 = x , ” x Î R2 , siendo 0 = (0, 0)
1.4) x + (-x) = 0 ” x = (x1 , x2 ) Î R2 , siendo -x = (-x1 , -x2 )
La multiplicacin por un número:
2.1) a. (x + y) = a.x + a.y , ” a Î R ; x , y Î R2
2.2) (a + b) .x = a.x + b.x , “a , b Î R , x Î R2
2.3) (a.b). x = a.(b. x) , ” a , b Î R , x Î R2
2.4) 1. x = x , ” x Î R2
+ Por todo ello, se dice que la terna (R2 , +, .) es un espacio vectorial sobre R.
Definición (de espacio vectorial)
Llamaremos espacio vectorial sobre R a una terna (V, +, .), donde:
ß V = { a , b , c … } es un conjunto a cuyos elementos llamaremos vectores.
ß + es una ley de composición interna en V.
ß . es una ley de composición externa en V con operadores en R.
cumpliéndose, cualesquiera que sean a , b , c Î V; a , b Î R:
1.1) a + b = b + a 2.1) a.(a + b) = a.a + a.b
1.2) a + (b + c) = (a + b) + c 2.2) (a + b).a = a.a + b.a
1.3) $ 0 Î V tal que a + 0 = a 2.3) (a.b).a = a.(b.a)
1.4) $ -a Î V tal que a + (-a) = 0 2.4) 1.a = a
Al vector 0 le llamaremos vector nulo; al vector -a, opuesto de a, y a los elementos a,
b, … de R , escalares.
Ejemplo importante
Considerado el conjunto Rn = {(x1 , x2 , … , xn) / x i Î R} y definidas las operaciones:
¬ (x1 , x2 , … , xn) + (y1 , y2 , … , yn) = (x1 + y1 , x2 + y2 , … , xn+ yn)
a . (x1 , x2 , … , xn) = (a x1 , a x2 , … , a xn), con a Î R ,
es fcil demostrar que (Rn, +, . ) es un espacio vectorial sobre R. Es el espacio vectorial de
las n-tuplas de números reales. Siendo x = (x1 , x2 , … , xn) , de los x i se dice que son las
componentes del vector x.
Consecuencias de la definición
Si (V, +, .) es un espacio vectorial sobre R, se verifican las siguientes proposiciones,
para todo a , b de V y todo a , b de R:
¬ a .0 = 0. a = 0 (-a).a = a.(-a) = -(a.a)
Â (a - b).a = a.a - b.a Ã a.(a - b) = a.a - a.b
Ä a.a = 0 Û [ (a = 0) (a = 0 ) ] Å a.a = a.b, con a ¹ 0 Þ a = b
Æ a.a = b.a, con a ¹ 0 Þ a = b
Demostraremos, a título de ejemplo, la primera:
a.a = a.(a + 0 ) = a.a + a.0 , luego a.0 = 0
a.a = (a + 0).a = a.a + 0.a , luego 0.a = 0
Demuestra t alguna otra.