Espacios vectoriales

DETERMINANTES
Advertencia
Hacemos una pausa en el estudio de las matrices para proveernos de un instrumento fundamental
en los c‡lculos que en el futuro tendremos que hacer: los determinantes. Como ya hemos dicho, no
insistiremos en las demostraciones de sus propiedades. Nos preocuparemos, sobre todo, de que al terminar
con ellos estŽs en condiciones de manejarlos sin dificultad.
Definiciones previas
À Llamaremos permutación principal de los n primeros números naturales a la
ordenación 1 2 3 4 5 … n
Á Formada otra permutación de ellos, i 1 i 2 i 3 i 4 i 5 … i n , diremos
que entre dos de sus elementos se presenta una inversión si el orden en el que tales
elementos aparecen es distinto del que les corresponde en la permutación principal.
Ejemplo
Considera la ordenación 1 4 2 3 , formada con los cuatro primeros números naturales.
Te bastar‡ con observar el esquema:
1 < 4 1 < 2 1 < 3 4 > 2 4 > 3 2 < 3
para concluir que el número de inversiones de la permutación anterior es 2 .
Definición (de determinante)
+ Llamaremos determinante de una matriz cuadrada de orden n, A = (a i j), y lo
representaremos por det (A) o êA ê al número que se obtiene sumando todos los productos
que se puedan formar con n elementos de la matriz, tomando un elemento de cada fila y de
cada columna, y adjudicando a cada producto el signo + — - segœn que siendo
a
1i
1
a
2i
2
a
3i
3
¼ani n
uno de ellos (con sus factores ordenados respecto al primer sub’ndice),
el número de inversiones de la permutación i
1
i
2
i
3¼i n sea par o impar.
En consecuencia, si llamamos s al número de inversiones de cada permutación
i
1
i
2
i
3¼i n , como (-1) s ser‡ igual a +1 si s es par, e igual a -1 si s es impar, se tendr‡:
det (A) = A = ( - 1)s a1i 1
a 2i 2
a
3i
3
¼a n i n å
Dos preguntas:
1») ÀDe cu‡ntos sumandos consta la suma anterior?
2») ÀSe te ocurre alguna forma sistem‡tica de escribirlos todos?
Consecuencias
Comprueba, aplicando la definición, que:
¬ à
a
11
a
12
a
21
a
22
= a
11
a
22 - a
12
a
21
O sea, que para calcular un determinante de orden dos basta con multiplicar primero
as’:
y, luego, restar el producto:
Á à
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
=
a
11
a
22
a
33 + a
12
a
23
a
31+ a
13
a
21
a
32
- a
13
a
22
a
31 - a
12
a
21
a
33 - a
11
a
23
a
32
ìïíïî
Desarrollo que puede memorizarse f‡cilmente haciendo uso del siguiente esquema,
conocido como regla de Sarrus :
Productos con
signo +
Productos con
signo -
(ÁOjo!: La regla de Sarrus s—lo es v‡lida para determinantes de orden tres)
Ejemplos
Comprueba que:
2 3
5 9
=3 ;
3 2 5
4 0 2
6 3 1
= 58
Observación
Como comprender‡s, mal asunto ser’a que, para conocer el valor de un determinante de orden n,
tuviŽramos que calcular los n! sumandos necesarios. El c‡lculo de un determinante de orden 4 exigir’a
calcular 24 productos (y sumarlos); el de uno de orden 5, 120… Para calcular un determinante de orden 10
necesitar’amos calcular la friolera de 3.628.800 productos, cada uno de ellos de 10 factores… ÀQuŽ hacer
llegados a esta situación?
Dos definiciones nuevas nos aportar‡n un procedimiento para el c‡lculo de un determinante que
resultar‡ mucho m‡s c—modo que la aplicación de la definición anterior.
Definiciones (de menor complementario y adjunto)
1) Llamaremos menor complementario del elemento a i j de una matriz A, cuadrada
de orden n, y lo representaremos por a i j , al determinante de la matriz cuadrada de orden n-1
que resulta de prescindir en A de la fila i y de la columna j.
2) Llamaremos adjunto del elemento a i j de A, y lo representaremos por A i j, a:
Ejemplos
Dada la matriz A =
2 1 0 2
1 0 3 1
0 2 1 2
4 1 0 3
æçççè
ö÷÷÷ø
, comprueba que :
a11= - 1 3, a23 = 0.
A
34= - 6 , A
44= - 13.
ìïíïî
Hasta que no estŽs seguro de que lo sabes hacer no sigas.
Consecuencia (desarrollo de un determinante por los elementos de una l’nea)
El valor de un determinante es igual a la suma de los productos de los
elementos de una l’nea (fila o columna) por sus adjuntos respectivos. +
O sea :
A =
a
11
a
12
a
13 ¼ a
1j ¼ a
1n
a
21
a
22
a
23 ¼ a
2 j ¼ a
2n
…
…
…
… …
… …
a
i 1
a
i 2
a
i 3 ¼ ai j ¼ ai n …
…
…
… …
… …
a
n1
a
n 2
a
n 3 ¼ an j ¼ an n
=
= a
i 1
A
i 1 + a
i 2
A
i 2+ ¼+ ai nAi n
= a
1j
A
1 j + a
2 j
A
2 j+ ¼+ an j An j
ìïíïî
Para tu alegr’a, lo admitimos sin demostración. ÀO tienes inconveniente?
Ejemplo
Supongamos que se deseara calcular el valor de: |A|=
1 0 3 2
2 -3 1 0
-3 1 2 0
2-5 3 1
Como en la cuarta columna aparecen dos ceros, eligiremos dicha l’nea para efectuar
el desarrollo y tendremos:
A = - 2
2 -3 1
-3 1 2
2 -5 3
+1
1 0 3
2 -3 1
-3 1 2
= - 2.0 + 1. ( - 28) = - 28
ÀObservas quŽ bueno es que aparezcan esos ceros en los lugares (2,4) y (3,4)? ÀY si no los hubiera?
Observación
Vemos, pues, que aunque el desarrollo de un determinante por los elementos de una
l’nea permite un c‡lculo m‡s r‡pido de Žste, si en dicha l’nea no aparecieran varios ceros,
aœn resultar’a tarea excesivamente prolija. El problema se resolver‡, definitivamente, con lo
que sigue.
Teorema (transformaciones en un determinante)
+ Dada una matriz cuadrada A de orden n, se verifican las siguientes proposiciones,
sobre cuyas demostraciones te ofrecemos algunas sugerencias:
¬ El valor de |A| no var’a si se intercambian filas por columnas.
Es dif’cil de demostrar, pues habr’a que ver que los productos cuya suma es igual a |A|
aparecen con el mismo signo, sin que sobre ni falte ninguno, en el desarrollo del nuevo
determinante. CompruŽbala, si quieres, para un determinante de orden 3.
­ Si todos los elementos de una fila (columna) de A son nulos, entonces |A| = 0.
Todos los sumandos de |A| (que, a su vez, son productos) contendr‡n un elemento de tal
fila, luego ser‡n nulos.
 Si en A si se intercambian dos filas (columnas), entonces |A| cambia de signo.
Es muy liosa de demostrar. CompruŽbala, si acaso, para un determinante de orden 3.
à Si en A existen dos filas (columnas) iguales, entonces |A| = 0.
Segœn la propiedad anterior, al intercambiarse tales filas (columnas) se obtendr‡ otra
matriz, B, tal que |B|= -|A|, pero como B = A, se tendr‡ |A|= 0.
Ä Si se multiplican todos los elementos de una fila (columna) de A por un mismo
número k, el |A| tambiŽn queda multiplicado por dicho número.
Si, por ejemplo, hubiŽramos multiplicado la 2» fila de A por k, obtendiendo la matriz B,
ser’a: B = ( - 1)
s
a
1i1
( k a
2i2
) ¼a
n in
å =k (-1)
s
a
1i1
a
2i2
¼ a
ni n
= k . A å
ÅSi en A existen dos filas (columnas) proporcionales, entonces |A| = 0.
Utilizando las propiedades 4» y 5» es f‡cil. As’:
a
11
k .a
11
a
21
k .a
21
= k .
a
11
a
11
a
21
a
21
= 0
Æ El valor de |A| no se modifica si a una fila (columna) se le suma otra fila
(columna) multiplicada por un número.
Si, efectuada esa suma, se desarrolla el determinante por los adjuntos de la nueva l’nea,
tal determinante puede descomponerse en suma de otros dos: uno que coincide con el
inicial y otro que, por tener dos l’neas paralelas iguales, ser‡ nulo.
Ç Si en A existe una fila (columna) combinación lineal de otras, entonces |A| = 0.
Por ejemplo:
a b aa+ bb
c d ac+ bd
e f ae+ bf
= ( por propiedad 7) =
a b 0
c d 0
e f 0
= 0
´La suma de los productos de los elementos de una fila (columna) de A por los
adjuntos de otra fila (columna) es igual a cero.
La suma en cuestión coincidir’a con el desarrollo por adjuntos de un determinante con dos
l’neas paralelas iguales, que ser’a nulo por la propiedad 4».
Observación
Ahora se trata de ver c—mo se aplican las propiedades anteriores al c‡lculo de determinantes,
especialmente para lograr cuantos m‡s ceros mejor en una l’nea, lo cual nos
permitir‡ un c—modo desarrollo del determinante por los adjuntos de tal l’nea.
Supongamos, por ejemplo, que dese‡ramos calcular:
1 3 2 5
2 1 3 4
5 2 7 6
3 8 9 2
Aplicando reiteradamente la propiedad 7» anterior, a la segunda fila le podemos
restar la primera multiplicada por 2; a la tercera, la primera multiplicada por 5; y, a la
œltima, la primera multiplicada por 3. Llegados aqu’, la primera columna tendr’a todos sus
elementos, salvo uno, nulos, y bastar’a con desarrollar por ella para calcular el
determinante:
1 3 2 5
2 1 3 4
5 8 7 6
3 8 9 2
=
1 3 2 5
0 -5 -1 -6
0 -7 -3 -19
0 -1 3 -13
= 1.
- 5 - 1 - 6
- 7 - 3 - 19
-1 3 -13
= - 2 64
Un error f‡cil de cometer consiste en pensar que para conseguir un cero en el lugar (2, 2), por
ejemplo, se puede multiplicar por 3 la segunda fila y restarle la primera. Efectivamente, obtendr’amos un
cero en dicho lugar, pero el valor del determinante, de acuerdo con la propiedad 5», ya no ser’a el mismo.
Ejemplos
Comprueba que:
1 4 3 1 4
3 1 5 1 0
-5 2 0 3 5
2 -1 -1 1 1
0 -1 2 0 3
= - 1.101 ;
1 1 1
a b c
a2 b2 c2
=(b - a) (c - a) (c - b)
Ya que surge la ocasión, te diremos que el œltimo determinante es un caso particular del llamado
determinante de Vandermonde. Volveremos a encontr‡rnoslo.

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