DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Ejemplos
¬+ Considera, en (R2 , +, .), los vectores a1 = (2, 0), a2 = (1, 3).
Supn que se tuviera a1.a1 + a2.a2 = 0. ÀA qu conclusión llegarías respecto a los
valores que habrían de tomar a1 y a2 ?
+ Toma ahora a1 = (2, 4), a2 = (1, 2).
Si de nuevo se tuviera a1.a1 + a2.a2 = 0, Àllegarías a la misma conclusión que antes
respecto a a1 y a2 o, por el contrario, ya no sería necesario que ambos coeficientes fueran
iguales a cero? ÀQu sucedería si, por ejemplo, tomaras a1 =1, a2 = -2 ?
Definiciones (de independencia y dependencia lineal)
¬+ Se dice que una familia { a1 , a2 , … , ap } de vectores es libre, o que los vectores
que la forman son linealmente independientes, si la nica combinación lineal de ellos que es
igual al vector nulo es aquella en la que todos los coeficientes son iguales a cero. O sea, si:
Definición de “vectores linealmente independientes”
a1 a1 + a2 a2 + … + ap ap = 0 Þ a1 = a2 = … = ap = 0
+ En caso contrario, o sea, si existe alguna combinación lineal de a 1 , a 2 , … , a p
que, pese a tener algn coeficiente distinto de cero, sea igual al vector nulo, se dice que dichos
vectores son linealmente dependientes, o que forman una familia ligada.
Ejemplo (sencillo e importante)
Siendo a 1 , a 2 , a 3 pertenecientes a un espacio vectorial (V, +, .), consideremos la
siguiente combinación lineal: 0.a1 + 0.a2 + 0.a3 + 1.0
ÀA qu es igual? ÀSon nulos todos los coeficientes? Por tanto, Àqu le sucede a cualquier
familia que, como la { a 1 , a 2 , a 3 , 0 }, incluya el vector nulo?
Teorema (otra forma de definir la dependencia lineal)
Una familia de vectores { a 1 , a 2 , … , a p } es ligada si y slo si uno al
menos de los vectores que la forman es combinación lineal de los restantes.
En efecto: Supongamos, en primer lugar, que la familia { a 1 , a 2 , … , a p } fuese ligada.
Entonces, como sabes, existiría al menos una combinación lineal:
a 1 a 1 + a 2 a 2 + … + a p a p = 0
con algn coeficiente, a1 , por ejemplo, distinto de 0. Despejando a 1 , se tendría:
a1 =
- a2
a1
a2+
- a3
a1
a3+ … +
- ap
a1
ap
luego a 1 sería combinación lineal de los restantes vectores.
Si, recprocamente, en la familia hubiese al menos un vector, el a 1 , por ejemplo, que
fuera combinación lineal de los dems: a 1 = b 2 a 2 + … + b p a p , se tendría:
1.a 1 + (-b2).a 2 + … + (-b p).a p = 0
sin que todos los coeficientes fueran nulos, luego { a 1 , a 2 , … , a p } sería ligada.
Consecuencia
Supn dados dos vectores de Rn: x = (x 1 , x 2 , …, x n), y = (y 1 , y 2 , …, y n). ÀEn qu se
traduciría, en trminos referidos a sus componentes, la dependencia e independencia lineal?
ÀCmo serón los vectores de R3 : x = (1, 3, 2 ), y = (2, 6, 3)?
Observación
Siendo necesario que los conceptos anteriores queden bien fijados, te propondremos varios ejercicios
sobre ellos al final del tema. Sin embargo, clculos que ahora nos resultarón engorrosos, cuando manejemos
lo que llamaremos rango de una matriz nos resultarón triviales; por tanto, tu forma de proceder con los
ejercicios de dependencia lineal deber ser distinta si te enfrentas a ellos por primera vez o despus de
haber estudiado el tema 2. Ahora no podemos ser ms explcitos, pero no olvides lo que te decimos.
Volveremos sobre ello.
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