Espacios vectoriales

BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL
Definición (de base de un espacio vectorial)
Llamaremos base de un espacio vectorial (V, +, .) a cualquier familia de vectores B =
{ a 1 , a 2 , … , a n / a i ÎV } tal que:
À B es un sistema generador de V
Á B es una familia libre
O sea, tal que :
À ” a Î V, $ x 1 , x 2 , … , x n Î R / a = x 1 a 1 + x 2 a 2 + … + x n a n
Á x 1 a 1 + x 2 a 2 + … + x n a n = 0 Þ x 1 = x 2 = … = x n = 0
Ejemplos
À Demuestra que a1 = (2, 1), a2 = (0, 4) forman una base de (R2 , +, .).
Comprueba, en primer lugar, que cualquiera que sea el vector (x 1 , x 2 ) Î R2, existen a, b Î R tales
que (x1 , x2 ) = a (2, 1) + b (0, 4). Estudia, posteriormente, la dependencia lineal de a 1 , a 2 .
Á Es f‡cil probar que los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) forman una base del espacio
(R3 , +, .). Por ser la m‡s sencilla, se dice que es la base can—nica de (R3 , +, .).
® Vimos en la p‡gina 18 que S = { (x, y, z ) Î R3 / x + 2y = z } era un subespacio vectorial
de (R3 , +, .). Comprueba que los vectores (1, 0, 1) y (0, 1, 2) constituyen un sistema
generador de S. ÀForman una base de S?
La familia formada por los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) tambiŽn es un sistema
generador de S. Sin embargo, Àpor quŽ no es una base de S?
Definición (coordenadas de un vector)
Sea B = { a 1 , a 2 , … , a n } una base de un espacio vectorial (V, +, .). Dado a ÎV,
sabemos que existen x 1 , x 2 , … , x nÎ R tales que:
a = x1
a1 + x2
a2 + … + xn a n
Ahora bien, Àson estos x
i los œnicos coeficientes para los que se cumple lo anterior?
Supongamos que hubiera otros coeficientes, y1 , y2 , …, yn, tales que:
a = y1 a1 + y2 a2 + … + yn a n
ÀQuí ocurrirá si restamos las dos œltimas igualdades?
Obtendremos:
(x1 - y1).a1 + (x2 - y2).a2 + … + (xn- yn).an= 0
y, por ser los vectores a i linealmente independientes, en esta combinación lineal todos los
coeficientes habr‡n de ser nulos, luego x i = y i , para i = 1, 2, … , n.
En resumen:
- Siendo B = { a 1 , a 2 , … , a n } una base de un espacio vectorial (V, +, .) sobre R,
para todo vector a Î V existen unos œnicos números reales x1 , x2 , … , xn tales que:
a = x1 a1 + x2 a2 + … + xn a n.
De x1 , x2 , … , xn se dice que son las coordenadas del vector a en la base B.
Ejemplos
1¼) Determina el vector de R3 cuyas coordenadas en la base formada por los vectores
(2, 0, 1), (1, 1, 2) , (2, 1, 3) son x1 = 1, x2 = 0, x3 = 2.
2¼) ÀSon iguales las coordenadas de un vector de Rn que las componentes? ÀCu‡ndo
son iguales?
3¼) Halla las coordenadas en la base B = { (2, 1), (1, 4) } del vector de R2 : a = (3, 6).
Definición (dimensión de un espacio vectorial)
Ocurre que no siempre es posible encontrar una base de un espacio vectorial con un
número finito de elementos. (Piensa, por ejemplo, en el conjunto R [x] de todos los polinomios con
coeficientes reales, que, con la suma y la multiplicación por un número, es espacio vectorial). Sin embargo,
puede demostrarse, aunque aquí no lo hagamos, que si en un espacio vectorial (V, +, .) existe
una base con n vectores, entonces cualquier otra base ha de tener precisamente n vectores.
De n se dice que es la dimensión de (V, +, .).
En otras palabras:
la dimensión de un espacio vectorial es el número en común
de vectores que tienen todas las bases de dicho espacio vectorial
si es que existe al menos una con un número finito de elementos.
ÁOjo!, no hay que confundir dimensión de un espacio vectorial con número de componentes
de sus vectores. As’, por ejemplo, S = { (0, x, y) / x, y Î R } es un subespacio de (R3 , +, .) de
dimensión dos, aunque sus vectores tengan tres componentes.
Ejemplo
ObtŽn la dimensión del subespacio de (R3 , +, .): S = { (x, y, z) / x + z = y }
Un parŽntesis (que puedes obviar en una primera lectura)
(L’neas atr‡s hab’amos dicho que de entre todos los sistemas generadores de un espacio vectorial
los m‡s “recomendables” son aquellos a los que llamaríamos bases. ÀPor quŽ? Pues por la sencilla raz—n de
que no hay ningún sistema generador de un espacio vectorial que tenga menos vectores que los que haya en
una base.
Sup—n, por ejemplo, que siendo { a 1 , a 2 , a 3 , a 4 } una base de cierto espacio vectorial (V, +, .),
hubiera un sistema generador de V con sólo tres vectores b 1 , b 2 , b 3 .
Entonces, o bien b 1 , b 2 , b 3 serían linealmente independientes, y formarían una base con sólo 3
elementos (imposible, porque todas las bases tienen el mismo número de elementos ), o bien serían linealmente
dependientes. En tal caso, al ser, por ejemplo, b 3 = b 1 b 1 + b 2 b 2 , todo vector que fuera
combinación lineal de b 1 , b 2 , b 3 lo sería de b 1 , b 2 , luego { b 1 , b 2 } sería un sistema generador de
(V, +, .). De ser libre, sería una base con sólo dos elementos (absurdo) y, de ser ligado, al tenerse, por
ejemplo, b 2 = l b 1 , { b 1 } sería una base de V con un solo elemento, lo cual tambiŽn sería absurdo.)
Una vez cerrado el parŽntesis anterior, te diremos que el procedimiento de demostración en Žl
utilizado se llama de reducción al absurdo. Lo cual no quiere decir precisamente que el procedimiento sea
absurdo, no vayamos a liarla.

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