Espacios vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES

LEYES DE COMPOSICIîN
Ejemplo
Consideremos los dos conjuntos siguientes: A = {a1, a2, a3} ; B = { b1, b2}. Si quisiéramos emparejar de todas las formas posibles los elementos de A con los de B, escribiendo en
primer lugar los elementos de A y, despuŽs, los de B, tendríamos las siguientes posibilidades:
(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1), (a2, b2), (a3, b1), (a3, b2)
Pues bien, a cada pareja anterior le llamaremos par ordenado y, al conjunto de todas
ellas, producto cartesiano de A por B, al que representaremos as’: A ´ B.
(Observa que como los pares son ordenados, para que dos de ellos sean iguales no s—lo han de
tener los mismos elementos, sino que éstos han de aparecer en el mismo orden).
Definición (de producto cartesiano)
Dados dos conjuntos cualesquiera, A y B, llamaremos producto cartesiano de A por
B, y lo representaremos por A ´ B, al conjunto:
A ´ B = { (a, b), donde a ÎA, bÎB }
Ejemplos (de otra cosa)
+ Cuando en la escuela aprendimos que 2 + 3 = 5, lo que estábamos haciendo era
establecer un criterio, la suma, que permitía asociar al par de nœmeros (2, 3) otro nœmero, el
5. Si con el símbolo R representásemos el conjunto de los números reales, la operación
anterior no sería sino una aplicación del producto cartesiano R ´ R en R. En este caso, al par
(2, 3) correspondería la misma imagen, 5, que al par (3, 2).
+ Cuando escrib’amos 2 3 = 8, también lo hacíamos en virtud de una aplicación R ´
R ¾¾® R a la que llamábamos potenciación. Pero en este caso, al contrario de lo que
suced’a en el anterior, mientras que al par (2, 3) le correspondería como imagen 8, al par (3,
2) le correspondería 3 2, es decir, 9.
b
a
a + b = c
+ Cuando en el plano vectorial, V 2, sum‡bamos
vectores libres mediante el criterio reflejado en
la figura, lo que est‡bamos estableciendo era una
aplicación de V 2 ´ V 2 en V 2 que a cada par ordenado
de vectores hac’a corresponder otro vector.
Definición (de ley de composición interna)
ì Se llama ley de composición interna en un conjunto C a cualquier aplicación:
C ´ C ¾¾® C
es decir, a cualquier criterio que a todo par ordenado de elementos de C le haga corresponder
un œnico elemento de C.
M‡s ejemplos
+ Considera ahora el conjunto R 2 [x] de todos los polinomios en la indeterminada x,
con coeficientes reales, de grado menor o igual a 2. Es decir:
R 2 [x] = { ax2 + bx + c / a, b, c Î R }
Recordar‡s que si a era un nœmero real cualquiera, el producto de a por un polinomio
ax2 + bx + c de R 2 [x] se defin’a as’:
a . ( ax 2 + bx + c ) = ( aa)x2 + (ab)x + (ac)
Pertenece
a R
Pertenece
a R2 [x]
Pertenece
a R2 [x]
Por ello, escrib’as 2.(3×2 + 2x + 1) = 6×2 + 4x + 2 — 3.(x2 - 1x + 3) = 3×2 - 3x + 9, etc.
Es decir, la multiplicación de un nœmero real por un polinomio de grado menor o igual que 2,
permit’a asociar a cada elemento (a, p(x)) del producto cartesiano R ´ R 2 [x] otro polinomio
q(x), perteneciente al conjunto R 2 [x].
+ Recordar‡s que la multiplicación de un nœmero real por un vector libre del plano V
2 se efectuaba como se indica en la figura:
a 2 . a
-3 . a
La multiplicación de un nœmero por un vector libre era, pues, un criterio que nos
permit’a hacer corresponder a todo par de R ´ V 2 otro elemento de V 2.

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